In auto e nel computer c’è sempre un po’ di Lagrange

lagrangeUn genio tra Italia ed Europa. Giuseppe Luigi Lagrange nacque a Torino nel 1736 e morì a Parigi il 10 aprile 1813: una serie di eventi lo celebra in occasione dei 200 anni dalla morte.
Una breve carrelata dell’impatto e dell’attualità dei sui studi.

di Francesco Vaccarino – POLITECNICO DI TORINO – La Stampa Tutto Scienze del 10/04/2013

 

lagrange2Cervello in fuga ante litteram, già protagonista dell’omonimo Progetto e Premio della Fondazione Crt, è stato ricordato lunedì scorso dall’Accademia delle scienze di Torino (che contribuì a fondare) e sarà ricordato oggi in un convegno presso l’aula magna del Politecnico di Torino, a cui seguirà la cerimonia di dedica del dipartimento di Scienze Matematiche al suo nome. E’ Giuseppe Luigi Lagrange, nato aTorino nel 1736, morto il 10 aprile di 200 anni fa e sepolto nel Panthéon a Parigi.

Il suo nome è uno dei 72 incisi sulla Torre Eiffel. Protagonista di una straordinaria avventura umana e scientifica che, da assistente a 19 anni presso le Reali Scuole di Artiglieria di Torino, progenitrici del Politecnico di Torino, lo condusse a dirigere l’Accademia delle Scienze di Berlino e poi all’Accademia delle Scienze di Parigi, dove, tra l’altro, diede un contributo fondamentale al sistema metrico decimale. Fu professore all’École Normale e poi nell’antenata dell’École Polytechnique. Sebbene quello di Lagrange sia un nome noto, l’impatto del suo contributo scientifico travalica la conoscenza comune.

Proprio per gettare una nuova luce sulla sua opera al convegno del Politecnico parleranno tre ricercatori d’eccezione: Luigi Ambrosio della Scuola Normale Superiore di Pisa, Giovanni Gallavotti, medaglia Boltzmann e accademico dei Lincei, Walter Gautschi, professore emerito alla Purdue University.

Uno dei problemi più tipici che s’incontrano in matematica, ma anche in ingegneria, è trovare ilmassimo o il minimo di qualche quantità: per esempio si vorrebbe costruire un’auto che abbia le massime prestazioni con minimi consumi. “A Lagrange dobbiamo un metodo sistematico per scoprire le potenziali soluzioni ammissibili in un problema di massimo o di minimo – racconta Ambrosio -. Consideriamo il problema della brachistocrona: trovare, tra tutte le curve che congiungono i punti A e B dello spazio a diverse altezze, quella lungo la quale un punto (sotto l’azione della gravità) si muova in tempo minimo. Contrariamente a quello che si potrebbe pensare, la soluzione non è né il segmento di retta da A a B né un arco di circonferenza,ma un arco di cicloide.
Il formalismo sviluppato da Lagrange consente di risolvere questo e tanti altri problemi in modo pressoché automatico.
Un altro grande contributo di Lagrange è la formulazione moderna del principio di minima azione attraverso l’introduzione di quella che è universalmente nota come “Lagrangiana”, che consentì per la prima volta una trattazione puramente analitica della meccanica”.

Se viviamo in un mondo tecnologico, dominato da meccanismi che fanno parte integrante della nostra quotidianità lo dobbiamo anche a Lagrange. “Fu il primo a proporre e mettere in atto la necessità di ridurre i problemi a principi primi, iniziando con lo studio della corda vibrante e la propagazione del suono. Volle immaginare la corda come costituita da tante parti piccolissime, ciascuna soggetta alle leggi del moto dei punti materiali. Fu una rivoluzione, soprattutto perché per la prima volta fu possibile studiare quantitativamente il moto di sistemi con un grandissimo numero di componenti elementari. Ancora oggi possiamo apprezzare la profonda differenza che s’incontra nello studio del moto dei meccanismi, facendo uso della meccanica analitica. Inoltre, gran parte dei problemi e delle teorie che s’incontrano nella fisica moderna iniziano assegnandone proprio la ‘Lagrangiana’, che consente di scrivere immediatamente le equazioni da risolvere”.

E nonostante Lagrange non abbia mai visto un computer, ora che la matematica si è fatta “computazionale” – cioè si dedica non solo a determinare l’esistenza di soluzioni di equazioni e problemi, ma anche a trovarne il valore – le sue idee trovano spazio anche nell’era del Big Data.
“Consideriamo un semplice caso – dice Gautschi – la radice quadrata di 2, che è irrazionale, cioè non si può scrivere come una frazione. Un analista numerico, che è un matematico computazionale, è interessato a determinarne il valore approssimato, ad esempio alla decima cifra decimale, cioè 1.4142135623, costruendo algoritmi che sono eseguiti dai calcolatori”. I problemi della matematica computazionale – prosegue Gautschi – sono di varia natura: “Tra l’altro, con quante risorse di calcolo possiamo determinare una quantità con la precisione desiderata. L’esempio di radice di 2 ammette molte generalizzazioni anche al campo delle equazioni differenziali. Lagrange ideò uno strumento importante: la formula di interpolazione. Consente di costruire una curva continua attraverso punti specifici, permettendo di determinare la posizione di quelli sconosciuti e coerenti con gli iniziali. È un’idea utile oggi come 200 anni fa”.

Lagrange visse in un tempo in cui le barriere tra matematica pura e applicata, fisica e ingegneria non erano ancora d’intralcio alla scienza. Larivoluzione
scientifica del XXI secolo richiede ora che lo spirito di Lagrange ritorni tra noi. Molti sperano che le iniziative in suo onore servano d’ispirazione.